Materi
Komplemen ortogonal subruang W di Rⁿ, ditulis W⊥, adalah himpunan semua vektor yang tegak lurus terhadap SETIAP vektor di W. Interactive Linear Algebra §6.2 menunjukkan bahwa W⊥ selalu subruang, dan bahwa cukup memeriksa vektor-vektor perentangnya: bila x tegak lurus terhadap v₁, …, vₖ, x juga tegak lurus terhadap setiap kombinasi linearnya. Garis lewat titik asal di R³ punya komplemen berupa bidang yang tegak lurus padanya, dan sebaliknya.
Syarat x · v₁ = 0, …, x · vₖ = 0 adalah sistem homogen Ax = 0 dengan A matriks yang BARIS-barisnya v₁ sampai vₖ. Jadi W⊥ = Nul A, atau dalam bahasa ruang-ruang matriks: (Row A)⊥ = Nul A. Hal yang sama untuk Aᵀ memberi (Col A)⊥ = Nul Aᵀ. Interactive Linear Algebra §6.2 lalu mencatat dua fakta yang sejalan dengan teorema rank dari kelas Aljabar Linier Lanjutan: dim W + dim W⊥ = n, dan (W⊥)⊥ = W.
Hubungan ini memberi cara kedua membaca ruang nol: setiap penyelesaian Ax = 0 tegak lurus terhadap setiap baris A. Di numpy, basis W⊥ diambil dengan cara yang sama seperti basis ruang nol di kelas sebelumnya: susun perentangnya sebagai baris, hitung rank r, lalu ambil baris-baris Vh dari np.linalg.svd mulai indeks r. Yang menentukan adalah rank, bukan banyaknya vektor perentang, karena perentang yang bergantung linear tidak menambah dimensi W.
W = rentang{(1, 0, 2, −1), (0, 1, −1, 3)} di R⁴
A = [[1, 0, 2, −1],
[0, 1, −1, 3]] (sudah eselon tereduksi)
x₁ = −2s + t, x₂ = s − 3t, x₃ = s, x₄ = t
basis W⊥: (−2, 1, 1, 0) dan (1, −3, 0, 1)
periksa: (−2, 1, 1, 0)·(1, 0, 2, −1) = −2 + 0 + 2 + 0 = 0 ✓
(1, −3, 0, 1)·(0, 1, −1, 3) = 0 − 3 + 0 + 3 = 0 ✓
dim W + dim W⊥ = 2 + 2 = 4