Materi
Kelas Aljabar Linier memproyeksikan vektor pada SATU vektor. Interactive Linear Algebra §6.3 memperluasnya ke subruang W berdimensi berapa pun: setiap x di Rⁿ dapat ditulis dengan tepat satu cara sebagai x = x_W + x_⊥, dengan x_W di W dan x_⊥ di W⊥. Bagian x_W disebut proyeksi ortogonal x ke W. Ia adalah titik di W yang paling dekat ke x, dan jarak x ke W sama dengan ‖x_⊥‖ = ‖x − x_W‖.
Bila W punya basis ortogonal u₁, …, uₖ, proyeksinya adalah jumlah proyeksi pada setiap vektor basis: x_W = Σ (x · uᵢ / uᵢ · uᵢ) uᵢ (Austin §6.3). Rumus jumlah ini SALAH untuk basis yang tidak ortogonal. Untuk basis apa pun, susun vektor basis sebagai kolom matriks A dan tulis x_W = Ac. Karena x − Ac harus tegak lurus terhadap setiap kolom, Aᵀ(x − Ac) = 0, sehingga c didapat dari AᵀAc = Aᵀx. Matriks P = A(AᵀA)⁻¹Aᵀ memetakan setiap x ke proyeksinya; ia memenuhi P² = P, karena memproyeksikan dua kali sama dengan sekali, dan Pᵀ = P.
Proyeksi ke subruang menjawab soal titik terdekat: posisi di bidang meja yang paling dekat ke ujung lengan robot, atau kombinasi beberapa sinyal acuan yang paling mirip dengan sinyal terukur. Persamaan AᵀAc = Aᵀx yang muncul di sini dipakai lagi di modul kuadrat terkecil.
W = rentang{(1, 1, 0), (1, −1, 1)} (1, 1, 0)·(1, −1, 1) = 0 → basis ortogonal
x = (3, 1, 5)
x·u₁/u₁·u₁ = 4/2 = 2, x·u₂/u₂·u₂ = (3 − 1 + 5)/3 = 7/3
x_W = 2(1, 1, 0) + (7/3)(1, −1, 1) = (13/3, −1/3, 7/3)
x_⊥ = x − x_W = (−4/3, 4/3, 8/3)
periksa: x_⊥·u₁ = 0, x_⊥·u₂ = (−4 − 4 + 8)/3 = 0 ✓
jarak x ke W = ‖x_⊥‖ = (4/3)·√6 ≈ 3,266