Materi
Hasil kali titik u · v menjumlahkan hasil kali komponen yang seletak: u1v1 + u2v2 + … Hasilnya satu bilangan, bukan vektor. Calculus Volume 3 membuktikan bentuk keduanya, u · v = ‖u‖‖v‖ cos θ, dengan θ sudut antara kedua vektor yang berada di rentang 0° sampai 180°. Dari sana sudutnya dapat dihitung: cos θ = u · v / (‖u‖‖v‖).
Tanda hasil kali titik langsung memberi tahu jenis sudutnya: positif berarti lancip, negatif berarti tumpul, dan nol berarti kedua vektor tegak lurus atau ortogonal. Proyeksi vektor v pada u adalah bagian v yang searah u, yaitu (u · v / ‖u‖²) u; panjang bertanda bagian itu, u · v / ‖u‖, disebut proyeksi skalar. Proyeksi menjawab pertanyaan seperti berapa bagian gaya tarik yang benar-benar menggerakkan troli ke depan. Di numpy, np.dot(u, v) atau u @ v menghitung hasil kali titik, np.arccos mengembalikan sudut dalam radian, dan np.degrees mengubahnya ke derajat.
u = (3, 4), v = (2, 1)
u · v = 3·2 + 4·1 = 10
‖u‖ = 5, ‖v‖ = √5
cos θ = 10 / (5√5) ≈ 0,894 → θ ≈ 26,57°
proyeksi v pada u = (10 / 25) · (3, 4) = (1,2; 1,6)
(1, 2) · (4, −2) = 4 − 4 = 0 → kedua vektor tegak lurus
