Materi
Basis subruang V adalah himpunan vektor yang bebas linear dan merentang V. Kedua syarat itu saling menyeimbangkan: cukup banyak untuk merentang, tetapi tanpa satu pun yang berlebih. Interactive Linear Algebra §2.7 membuktikan bahwa setiap basis subruang yang sama punya banyak anggota yang sama; bilangan itu disebut dimensi. Rⁿ berdimensi n, P₂ berdimensi 3 dengan basis {1, x, x²}, dan ruang matriks 2 × 2 berdimensi 4. Basis tidak tunggal: {(1, 0), (0, 1)} dan {(1, 1), (1, −1)} sama-sama basis R².
Di ruang berdimensi n, n vektor membentuk basis tepat ketika matriks berkolom vektor-vektor itu ber-rank n, yang setara dengan determinan tak nol. Kurang dari n vektor tidak dapat merentang, lebih dari n vektor tidak dapat bebas linear. Dimensi subruang yang ditulis dengan persamaan sama dengan banyak variabel bebasnya.
Karena basis bebas linear, setiap vektor v ditulis sebagai kombinasi basis dengan satu cara saja. Koefisiennya disebut koordinat v terhadap basis B, ditulis [v]_B (§2.8). Menghitungnya berarti menyelesaikan P c = v dengan P matriks berkolom vektor-vektor basis; np.linalg.solve melakukannya untuk P persegi yang tidak singular.
B = {(1, 1), (1, −1)}, v = (7, 3)
c₁ + c₂ = 7, c₁ − c₂ = 3 → c₁ = 5, c₂ = 2
[v]_B = (5, 2) periksa: 5(1, 1) + 2(1, −1) = (7, 3)
W = {(a, b, c) ∈ R³ : a − 2b + c = 0}: a = 2b − c, variabel bebas b dan c
basis {(2, 1, 0), (−1, 0, 1)}, dim W = 2
import numpy as np
P = np.column_stack([[1, 1], [1, -1]])
np.linalg.solve(P, [7, 3]) # array([5., 2.])