Materi
Kelas induk mengenalkan kebebasan linear lewat rank. Definisinya, sebagaimana di Interactive Linear Algebra §2.5: v₁, …, vₖ bebas linear bila persamaan c₁v₁ + … + cₖvₖ = 0 hanya dipenuhi oleh c₁ = … = cₖ = 0. Bila ada penyelesaian lain, himpunannya bergantung linear dan persamaan dengan koefisien tak nol itu disebut relasi ketergantungan. Relasi itu menunjukkan vektor mana yang berlebih: vektor dengan koefisien tak nol dapat ditulis sebagai kombinasi vektor lainnya, dan membuangnya tidak mengubah rentang.
Beberapa akibat dapat dibaca tanpa berhitung. Himpunan yang memuat vektor nol selalu bergantung linear. Dua vektor bergantung linear tepat ketika satu kelipatan yang lain. Lebih dari n vektor di Rⁿ selalu bergantung linear, karena matriksnya punya lebih banyak kolom daripada pivot yang mungkin. Untuk polinom dan matriks, Kuttler §9.3 memakai definisi yang sama; dalam praktiknya polinom diubah menjadi vektor koefisien lalu diperiksa seperti vektor biasa.
Mencari relasinya berarti mencari penyelesaian tak nol dari Mc = 0, dengan M matriks berkolom vᵢ. Di numpy, np.linalg.svd(M) mengembalikan tiga bagian U, S, Vh; bila kolom M bergantung linear, baris terakhir Vh adalah vektor c yang panjangnya 1 dan memenuhi Mc = 0. Teori SVD di luar cakupan kelas ini; yang dipakai hanya sifat itu.
v₁ = (1, 2, 0), v₂ = (0, 1, 1), v₃ = (2, 7, 3)
2v₁ + 3v₂ = (2, 4 + 3, 3) = (2, 7, 3) = v₃
relasi: 2v₁ + 3v₂ − v₃ = 0 → bergantung linear, v₃ berlebih
Polinom di P₂: 1 + x², x, 2 + x + 2x²
vektor koefisien (1, 0, 1), (0, 1, 0), (2, 1, 2)
2(1, 0, 1) + (0, 1, 0) = (2, 1, 2) → bergantung linear