Materi
Ruang nol Nul A adalah himpunan semua x yang memenuhi Ax = 0, subruang dari Rⁿ. Dimensinya disebut nulitas. Basisnya dibaca dari bentuk parametrik penyelesaian: setiap variabel bebas menyumbang satu vektor basis, yang didapat dengan memberi variabel bebas itu nilai 1 dan variabel bebas lain nilai 0. Jadi nulitas sama dengan banyak variabel bebas, yaitu banyak kolom tanpa pivot.
Karena setiap kolom adalah kolom pivot atau kolom bebas, Interactive Linear Algebra §2.9 menuliskan teorema rank: rank A + nulitas A = n, dengan n banyak KOLOM. Teorema ini menjawab bentuk penyelesaian Ax = b tanpa menyelesaikannya. Bila sistemnya konsisten, semua penyelesaiannya berbentuk xₚ + Nul A, dengan xₚ satu penyelesaian khusus; penyelesaiannya tunggal tepat ketika nulitasnya 0, dan bila nulitasnya k, penyelesaian umumnya memuat k parameter bebas. Matriks m × n dengan n > m selalu punya nulitas paling sedikit n − m.
Di numpy, basis ruang nol dapat diambil dari np.linalg.svd: bila rank A = r, baris Vh ke-r sampai terakhir adalah basis Nul A yang saling tegak lurus dan masing-masing panjangnya 1. Hasilnya tidak sama dengan basis dari bentuk parametrik, tetapi merentang ruang yang sama.
A = [[1, 3, 0, −2],
[0, 0, 1, 4]] (sudah eselon tereduksi)
x₁ = −3s + 2t, x₂ = s, x₃ = −4t, x₄ = t
basis Nul A: (−3, 1, 0, 0) dan (2, 0, −4, 1)
rank 2 + nulitas 2 = 4 kolom
Ax = (5, 7) punya xₚ = (5, 0, 7, 0), jadi semua penyelesaiannya
x = (5, 0, 7, 0) + s(−3, 1, 0, 0) + t(2, 0, −4, 1)