Materi
Kelas induk membaca matriks 2 × 2 sebagai rotasi, skala, dan cermin. Definisi umumnya ada di Interactive Linear Algebra §3.3: pemetaan T dari ruang vektor V ke W disebut transformasi linear bila T(u + v) = T(u) + T(v) dan T(cu) = cT(u) untuk semua u, v, dan skalar c. Akibat langsungnya T(0) = 0, sehingga pemetaan yang menggeser titik asal, seperti T(v) = v + (3, 1), langsung gugur. Pemetaan yang memuat kuadrat, perkalian antarvariabel, atau nilai mutlak juga gugur.
Setiap transformasi linear T: Rⁿ → Rᵐ adalah perkalian dengan satu matriks A berukuran m × n. Kolom ke-i matriks itu adalah T(eᵢ), bayangan vektor baku ke-i; banyak baris mengikuti dimensi ruang TUJUAN. Kernel T adalah ruang nol A, dan peta (range) T adalah ruang kolom A. T satu-satu tepat ketika kernelnya {0}, dan T pada (onto) tepat ketika rank A = m.
Ruang polinom diperlakukan sama lewat basis. Turunan memenuhi aturan jumlah dan aturan kelipatan konstanta (OpenStax Calculus Volume 1 §3.3), jadi turunan adalah transformasi linear dari P₂ ke P₁. Kuttler §9.9 menyusun matriksnya terhadap dua basis: kolom ke-i berisi koordinat bayangan vektor basis ke-i.
T(x, y, z) = (x + 2y, 3z − x) dari R³ ke R²
T(e₁) = (1, −1), T(e₂) = (2, 0), T(e₃) = (0, 3)
A = [[ 1, 2, 0],
[−1, 0, 3]] ukuran 2 × 3
kernel: x = −2y, z = x/3 → rentang (−6, 3, −2)
Turunan D: P₂ → P₁, basis {1, x, x²} dan {1, x}
D(1) = 0 → (0, 0), D(x) = 1 → (1, 0), D(x²) = 2x → (0, 2)
[D] = [[0, 1, 0],
[0, 0, 2]]
D(4 − x + 5x²) ↔ [D]·(4, −1, 5) = (−1, 10) ↔ −1 + 10x