Ruang eigen dan kelipatan nilai eigen

Kelas induk mencari nilai eigen 2 × 2 dari polinom karakteristik. Untuk satu nilai eigen λ, semua vektor yang memenuhi Av = λv, ditambah vektor nol, membentuk ruang eigen E_λ = Nul(A − λI). Interactive Linear Algebra §5.1 menekankan bahwa ruang eigen adalah subruang, sehingga punya basis dan dimensi. Bilangan 0 adalah nilai eigen tepat ketika A singular, karena E_0 = Nul A.

Setiap nilai eigen punya dua ukuran. Kelipatan aljabar adalah berapa kali λ muncul sebagai akar polinom karakteristik. Kelipatan geometri adalah dim E_λ = n − rank(A − λI). §5.4 buku yang sama menyatakan bahwa kelipatan geometri selalu paling sedikit 1 dan paling banyak kelipatan aljabarnya. Untuk matriks segitiga, determinan A − λI adalah hasil kali unsur diagonalnya dikurangi λ, sehingga nilai eigennya langsung terbaca di diagonal (§5.2).

A = [[2, 0, 0],
     [1, 2, 0],
     [0, 0, 3]]           segitiga bawah
nilai eigen: 2 (kelipatan aljabar 2) dan 3 (kelipatan aljabar 1)
A − 2I = [[0, 0, 0], [1, 0, 0], [0, 0, 1]],  rank 2
kelipatan geometri λ = 2:  3 − 2 = 1   (lebih kecil dari 2)
E₂ = rentang (0, 1, 0)

import numpy as np
3 - np.linalg.matrix_rank(np.array([[2, 0, 0], [1, 2, 0], [0, 0, 3]]) - 2 * np.eye(3))   # 1