Matriks serupa: satu transformasi, dua basis

Transformasi T(x) = Ax ditulis dengan matriks A terhadap basis baku. Terhadap basis B dengan matriks basis P, matriksnya menjadi [T]_B = P⁻¹AP: koordinat-B diubah ke baku oleh P, dikenai A, lalu dikembalikan ke koordinat-B oleh P⁻¹. Interactive Linear Algebra §5.3 menyebut dua matriks A dan C serupa bila C = P⁻¹AP untuk suatu P yang punya invers. Matriks yang serupa menggambarkan transformasi yang sama dilihat dari dua basis.

Karena transformasinya sama, beberapa besaran tidak berubah. Matriks yang serupa punya determinan yang sama, trace (jumlah diagonal) yang sama, polinom karakteristik yang sama sehingga nilai eigennya sama, dan rank yang sama (Kuttler §7.2). Besaran itu dipakai sebagai pemeriksa: bila salah satunya berbeda, kedua matriks pasti tidak serupa. Kebalikannya tidak berlaku: kesamaan semua besaran itu belum menjamin keserupaan.

Gunanya memilih basis yang membuat matriksnya sederhana. Bila basisnya terdiri atas vektor eigen, setiap vektor basis hanya diregangkan, sehingga [T]_B menjadi diagonal. Inilah jembatan ke modul terakhir.

A = [[4, −2], [1, 1]],  basis B = {(2, 1), (1, 1)}
A(2, 1) = (6, 3) = 3·(2, 1)
A(1, 1) = (2, 2) = 2·(1, 1)
[T]_B = P⁻¹AP = [[3, 0], [0, 2]]
periksa: trace 4 + 1 = 5 = 3 + 2,  det 4 + 2 = 6 = 3 · 2

import numpy as np
P = np.column_stack([[2, 1], [1, 1]])
np.linalg.solve(P, np.array([[4, -2], [1, 1]]) @ P)   # [[3, 0], [0, 2]]