Materi
Pelajaran koordinat menghitung [v]_B dengan menyelesaikan P_B c = v, dengan P_B matriks berkolom vektor-vektor basis B. Dibaca dari arah sebaliknya, P_B mengubah koordinat-B menjadi koordinat baku: v = P_B [v]_B, dan P_B⁻¹ mengubah koordinat baku menjadi koordinat-B. Interactive Linear Algebra §2.8 menyebut basis sebagai sistem koordinat; mengganti basis berarti memakai penggaris lain untuk vektor yang sama.
Untuk dua basis B dan C, matriks perubahan basis dari B ke C, ditulis P(C←B), memenuhi [v]_C = P(C←B)[v]_B. Kolom ke-i matriks itu adalah koordinat vektor bᵢ terhadap C. Dengan menggabungkan dua langkah — dari B ke baku, lalu dari baku ke C — didapat P(C←B) = P_C⁻¹ P_B. Arah kebalikannya, P(B←C), adalah invers P(C←B). Dalam numpy, P_C⁻¹ P_B dihitung sebagai np.linalg.solve(P_C, P_B) tanpa membentuk invers secara terpisah.
B = {(1, 1), (1, 2)}, P_B = [[1, 1], [1, 2]]
[v]_B = (3, −1) → v = 3(1, 1) − 1(1, 2) = (2, 1)
balik: P_B⁻¹ = [[2, −1], [−1, 1]], P_B⁻¹ (2, 1) = (3, −1) ✓
C = {(1, 0), (1, 1)}, P_C⁻¹ = [[1, −1], [0, 1]]
P(C←B) = P_C⁻¹ P_B = [[0, −1], [1, 2]]
periksa kolom 1: (1, 1) = 0·(1, 0) + 1·(1, 1) → koordinat (0, 1) ✓