Kombinasi linear dan rentang

Kombinasi linear vektor v₁, …, vₖ adalah vektor berbentuk c₁v₁ + … + cₖvₖ dengan c bilangan real. Rentang (span) himpunan itu adalah kumpulan semua kombinasi linearnya. Interactive Linear Algebra §2.2 menggambarkannya: rentang satu vektor tak nol di R³ adalah garis lewat titik asal, rentang dua vektor yang tidak searah adalah bidang lewat titik asal, dan rentang selalu merupakan subruang karena jumlah dan kelipatan kombinasi linear masih kombinasi linear.

Pertanyaan "apakah b ada di rentang v₁, …, vₖ?" sama dengan pertanyaan "apakah sistem Ac = b konsisten?", dengan A matriks yang kolom-kolomnya v₁ sampai vₖ. Dari kelas induk, sistem itu konsisten tepat ketika menambahkan kolom b tidak menaikkan rank: rank [A | b] = rank A. Bila rank A sama dengan banyak baris m, kolom-kolom A merentang seluruh Rᵐ dan setiap b masuk. Di numpy, np.column_stack menyusun vektor-vektor menjadi kolom, dan np.linalg.matrix_rank menghitung rank-nya.

v₁ = (1, 0, 2),  v₂ = (0, 1, −1)

Apakah (3, −2, 8) di rentang?   3v₁ − 2v₂ = (3, −2, 6 + 2) = (3, −2, 8)   → ya
Apakah (3, −2, 5) di rentang?   dua komponen pertama memaksa c₁ = 3, c₂ = −2,
                                 tetapi komponen ketiganya 8, bukan 5        → tidak

import numpy as np
A  = np.column_stack([[1, 0, 2], [0, 1, -1]])
Ab = np.column_stack([[1, 0, 2], [0, 1, -1], [3, -2, 5]])
np.linalg.matrix_rank(A), np.linalg.matrix_rank(Ab)   # (2, 3) → tidak di rentang

Rentang menjawab pertanyaan kerja seperti: dapatkah tiga bahan baku dengan kandungan gizi tertentu dicampur menjadi pakan dengan kandungan sasaran, atau dapatkah tiga warna dasar lampu menghasilkan warna yang diminta. Bila sasarannya di luar rentang, tidak ada takaran apa pun yang mencapainya.