Ruang kolom, ruang baris, dan kolom pivot

Setiap matriks A berukuran m × n membawa beberapa subruang. Ruang kolom Col A adalah rentang kolom-kolomnya, subruang dari Rᵐ; isinya tepat semua b yang membuat Ax = b konsisten. Ruang baris Row A adalah rentang baris-barisnya, subruang dari Rⁿ. Interactive Linear Algebra §2.7 memberi cara mencari basis Col A: lakukan eliminasi sampai bentuk eselon, catat kolom mana yang memuat pivot, lalu ambil kolom-kolom di posisi itu dari matriks ASLI.

Operasi baris mengubah ruang kolom tetapi tidak mengubah ruang baris, karena setiap baris baru adalah kombinasi linear baris lama dan langkahnya dapat dibalik. Akibatnya basis Row A diambil dari baris-baris tak nol bentuk eselon, sedangkan basis Col A harus dari kolom matriks asli. Kedua basis berisi satu vektor per pivot, sehingga dim Col A = dim Row A = rank A, dan rank tidak pernah melebihi min(m, n) (Kuttler §4.10).

Kolom pivot juga dapat ditemukan tanpa eliminasi: telusuri kolom dari kiri, dan sebuah kolom adalah kolom pivot bila menambahkannya menaikkan rank kolom-kolom pivot sebelumnya. Kolom yang tidak menaikkan rank adalah kombinasi linear kolom di kirinya.

A = [[1, 2, 0, 1],
     [2, 4, 1, 1],
     [3, 6, 1, 2]]
B₂ − 2B₁ → [0, 0, 1, −1]
B₃ − 3B₁ → [0, 0, 1, −1],  lalu B₃ − B₂ → [0, 0, 0, 0]
pivot di kolom 1 dan kolom 3,  rank A = 2
basis Col A (kolom ASLI):     (1, 2, 3), (0, 1, 1)
basis Row A (baris eselon):   (1, 2, 0, 1), (0, 0, 1, −1)
kolom 2 = 2 × kolom 1,  kolom 4 = kolom 1 − kolom 3