Ruang vektor dan subruang

Kelas Aljabar Linier memperlakukan vektor sebagai daftar bilangan. Kuttler §9.1 membalik sudut pandangnya: yang membuat sesuatu layak disebut vektor adalah aturan hitungnya, bukan wujudnya. Ruang vektor adalah himpunan V beserta penjumlahan dan perkalian skalar yang memenuhi sepuluh aksioma: hasil penjumlahan dan perkalian skalar tetap di dalam V (sifat tertutup), penjumlahan komutatif dan asosiatif, ada vektor nol, setiap vektor punya lawan, perkalian skalar distributif terhadap kedua penjumlahan, asosiatif terhadap perkalian skalar, dan 1·v = v.

Contohnya lebih luas daripada Rⁿ. Semua matriks 2 × 3 membentuk ruang vektor, karena dua matriks 2 × 3 dijumlahkan menjadi matriks 2 × 3 lagi. Semua polinom berderajat paling tinggi 2, ditulis P₂, juga ruang vektor: polinom a + bx + cx² dijumlahkan dan dikalikan skalar per koefisien, persis seperti vektor (a, b, c). Inilah yang membuat alat dari kelas induk — rank, eliminasi, numpy — dapat dipakai untuk polinom dan matriks.

Subruang adalah himpunan bagian W dari V yang juga ruang vektor dengan operasi yang sama. Interactive Linear Algebra §2.6 menunjukkan bahwa cukup tiga syarat yang diperiksa: W memuat vektor nol, W tertutup terhadap penjumlahan, dan W tertutup terhadap perkalian skalar. Garis dan bidang yang melewati titik asal adalah subruang; yang tidak melewati titik asal bukan. Himpunan penyelesaian Ax = 0 selalu subruang, sedangkan himpunan penyelesaian Ax = b dengan b ≠ 0 tidak pernah, karena tidak memuat vektor nol. Dua subruang selalu ada: {0} dan V sendiri.

Di P₂:  p = 2 + 3x − x²   ↔ (2, 3, −1)
        q = 1 − x + 4x²    ↔ (1, −1, 4)
p + q  = 3 + 2x + 3x²      ↔ (3, 2, 3)
2p − q = 3 + 7x − 6x²      ↔ (3, 7, −6)

W = {(a, b, c) : a = 2b} di R³
  nol:      (0, 0, 0) memenuhi 0 = 2·0          ✓
  jumlah:   a₁ = 2b₁ dan a₂ = 2b₂ → a₁ + a₂ = 2(b₁ + b₂)   ✓
  skalar:   ka = k·2b = 2(kb)                    ✓   → W subruang

U = {(a, b, c) : c ≥ 0}:  (0, 0, 1) di U, tetapi (−1)·(0, 0, 1) = (0, 0, −1) tidak → bukan subruang