Materi
Bila A = PDP⁻¹, perkalian berulang saling menghapus P⁻¹P di tengahnya, sehingga Aᵏ = PDᵏP⁻¹. Dᵏ cukup dihitung dengan memangkatkan setiap unsur diagonal. Interactive Linear Algebra §5.4 dan Kuttler §7.3 memakai rumus ini untuk menghitung pangkat besar tanpa mengalikan matriks berulang kali.
Proses yang berulang xₖ₊₁ = Axₖ, misalnya populasi beberapa kelompok umur, punya xₖ = Aᵏx₀. Bila x₀ ditulis dalam basis vektor eigen, x₀ = c₁v₁ + c₂v₂, maka xₖ = c₁λ₁ᵏv₁ + c₂λ₂ᵏv₂. Suku dengan |λ| terbesar, disebut nilai eigen dominan, lama-kelamaan menguasai: bila c₁ ≠ 0, xₖ tumbuh atau meluruh dengan faktor λ₁ per langkah dan arahnya mendekati v₁. Bila semua |λ| < 1, setiap keadaan menuju nol. Rekurensi seperti aₖ₊₁ = aₖ + 2aₖ₋₁ ditulis sebagai matriks dengan menyimpan dua suku terakhir sebagai vektor.
aₖ₊₁ = aₖ + 2aₖ₋₁, a₀ = 0, a₁ = 1
(aₖ₊₁, aₖ) = [[1, 2], [1, 0]] · (aₖ, aₖ₋₁)
nilai eigen 2 dan −1, vektor eigen (2, 1) dan (−1, 1)
(a₁, a₀) = (1, 0) = ⅓(2, 1) − ⅓(−1, 1)
aₖ = (2ᵏ − (−1)ᵏ) / 3 → 0, 1, 1, 3, 5, 11, …