Antiturunan dan integral tak tentu

Antiturunan f adalah fungsi F yang turunannya f. Karena turunan konstanta nol, antiturunan tidak tunggal: kalau F antiturunan f, maka F + C juga, untuk sembarang konstanta C. Seluruh keluarga itu ditulis sebagai integral tak tentu ∫ f(x) dx = F(x) + C.

Aturan pangkat untuk integral membalik aturan pangkat untuk turunan: antiturunan xⁿ adalah xⁿ⁺¹ / (n + 1), untuk n ≠ −1. Untuk n = −1 berlaku ∫ (1/x) dx = ln|x| + C, dan ∫ eˣ dx = eˣ + C. Kelipatan konstanta dan jumlah diperlakukan suku demi suku, sama seperti pada turunan.

∫ (6x² + 4x) dx = 6·x³/3 + 4·x²/2 + C = 2x³ + 2x² + C

periksa: turunan 2x³ + 2x² adalah 6x² + 4x   cocok

syarat awal F(1) = 10:  2 + 2 + C = 10  →  C = 6
F(x) = 2x³ + 2x² + 6

Syarat awal seperti F(1) = 10 memilih satu anggota keluarga itu, dan inilah bentuk masalah nilai awal. Pemakaiannya langsung: bila kecepatan sebuah benda diketahui sebagai fungsi waktu dan posisinya pada saat awal diketahui, antiturunan kecepatan dengan konstanta yang tepat adalah posisinya di setiap saat.