Aturan rantai, eˣ, dan ln x

Fungsi komposisi adalah fungsi di dalam fungsi, misalnya (2x + 1)⁵: fungsi dalamnya u = 2x + 1 dan fungsi luarnya u⁵. Aturan rantai menyatakan bahwa turunan f(g(x)) adalah f′(g(x))·g′(x): turunkan fungsi luar dengan membiarkan isinya utuh, lalu kalikan dengan turunan fungsi dalam.

Bilangan e bernilai kira-kira 2,718 dan menjadi dasar fungsi eksponensial alami eˣ. Sifat istimewanya: turunan eˣ adalah eˣ sendiri. Kebalikan eˣ adalah logaritma natural ln x, yang hanya terdefinisi untuk x positif, dan turunannya adalah 1/x. Digabung dengan aturan rantai, turunan e^(kx) adalah k·e^(kx), dan turunan ln(g(x)) adalah g′(x) / g(x).

f(x) = (2x + 1)⁵
f′(x) = 5(2x + 1)⁴ · 2 = 10(2x + 1)⁴
f′(0) = 10

g(x) = e^(3x)          g′(x) = 3e^(3x)        g′(0) = 3
k(x) = ln(4x)          k′(x) = 4 / (4x) = 1/x  k′(2) = 0,5

Fungsi eˣ muncul setiap kali laju pertumbuhan sebanding dengan besarnya sendiri, seperti jumlah pengguna yang tumbuh dengan persentase tetap. Turunan 800e^(0,05t) adalah 40e^(0,05t): pada t = 0 lajunya 40, yaitu 5% dari 800.