Turunan sebagai limit hasil bagi selisih

Turunan f di x = a ditulis f′(a) dan didefinisikan sebagai limit hasil bagi selisih (f(a + h) − f(a)) / h untuk h → 0. Hasil bagi itu adalah laju rata-rata pada selang selebar h, sehingga turunan adalah laju sesaat. Secara grafik, f′(a) adalah kemiringan garis singgung kurva di titik (a, f(a)): garis tali busur yang ujungnya digeser sampai berimpit dengan titik singgung.

f(x) = x²   di a = 3

(f(3 + h) − f(3)) / h = ((9 + 6h + h²) − 9) / h
                      = (6h + h²) / h
                      = 6 + h          untuk h ≠ 0
f′(3) = lim (6 + h) = 6

garis singgung: y = f(3) + f′(3)(x − 3) = 9 + 6(x − 3)

Garis singgung ditulis dalam bentuk titik-kemiringan y = f(a) + f′(a)(x − a). Di sekitar titik singgung, garis itu sangat dekat dengan kurvanya, sehingga dipakai untuk menaksir nilai fungsi di dekat a. Pada contoh di atas, garis singgung di x = 3,1 memberi 9,6, sedangkan nilai sebenarnya 9,61.

Tanda turunan juga bermakna: f′(a) positif berarti fungsi naik di sekitar a, negatif berarti turun, dan besar angkanya menunjukkan berapa satuan keluaran berubah untuk tiap satu satuan masukan, persis seperti gradien fungsi linear.