Laju perubahan rata-rata

Laju perubahan rata-rata fungsi f pada selang dari a sampai b adalah selisih keluaran dibagi selisih masukan: (f(b) − f(a)) / (b − a). Pada grafik, angka itu adalah kemiringan garis tali busur, yaitu garis lurus yang menghubungkan titik (a, f(a)) dan (b, f(b)). Untuk fungsi linear hasilnya selalu sama dengan gradiennya. Untuk kurva, hasilnya bergantung pada selang yang dipilih.

Contoh: sebuah benda menempuh s(t) = 5t² meter setelah t detik. Kecepatan rata-rata pada selang [2, 3] adalah (45 − 20) / 1 = 25 meter per detik. Tabel di bawah memperlihatkan apa yang terjadi saat ujung kanan selang digeser mendekati 2.

selang          (s(b) − s(2)) / (b − 2)
[2 ; 3]         (45 − 20) / 1           = 25
[2 ; 2,5]       (31,25 − 20) / 0,5      = 22,5
[2 ; 2,1]       (22,05 − 20) / 0,1      = 20,5
[2 ; 2,01]      (20,2005 − 20) / 0,01   = 20,05

makin sempit selangnya, hasilnya makin dekat ke 20

Angka 20 itu belum pernah muncul sebagai hasil satu pembagian pun, karena selang selebar nol membuat penyebutnya nol. Angka itu adalah nilai yang didekati, dan itulah gagasan limit: kecepatan sesaat pada t = 2 adalah limit kecepatan rata-rata saat lebar selang menuju nol. Seluruh kelas ini dibangun di atas gagasan tersebut, dan pelajaran berikutnya memberinya notasi dan aturan hitung.