Jumlah Riemann dan integral tentu sebagai luas

Luas daerah di bawah kurva f dari x = a sampai x = b ditaksir dengan persegi panjang. Selang dibagi menjadi n bagian sama lebar Δx = (b − a) / n. Tinggi tiap persegi panjang diambil dari nilai f di ujung kiri, ujung kanan, atau titik tengah bagian itu, lalu semua luas persegi panjang dijumlahkan. Hasilnya disebut jumlah Riemann kiri, kanan, atau titik tengah.

f(x) = x²  di [0, 2],  n = 4,  Δx = 0,5

kanan: (0,25 + 1 + 2,25 + 4) · 0,5 = 3,75
kiri : (0 + 0,25 + 1 + 2,25) · 0,5  = 1,75
nilai sebenarnya 8/3 ≈ 2,67, terjepit di antara keduanya

Makin besar n, makin sempit persegi panjangnya dan makin kecil selisih taksiran dengan luas sebenarnya. Limit jumlah Riemann untuk n → ∞ disebut integral tentu, ditulis ∫ f(x) dx dari a sampai b. Fungsi yang kontinu di [a, b] selalu punya integral tentu.

Integral tentu adalah luas bertanda: bagian kurva di atas sumbu datar dihitung positif dan bagian di bawahnya dihitung negatif. Untuk fungsi linear, luasnya dapat dihitung langsung dengan rumus segitiga atau trapesium, sehingga taksiran Riemann dapat dicocokkan dengan jawaban pastinya.