Teorema Dasar Kalkulus dan substitusi

Teorema Dasar Kalkulus menghubungkan turunan dan integral. Bagian pertama menyatakan bahwa bila f kontinu, turunan dari ∫ f(t) dt dari a sampai x adalah f(x) sendiri. Bagian kedua memberi cara hitung: bila F antiturunan f, maka ∫ f(x) dx dari a sampai b sama dengan F(b) − F(a). Limit jumlah Riemann yang panjang diganti satu pengurangan.

∫ 3x² dx dari 0 sampai 2 = [x³] dari 0 sampai 2 = 8 − 0 = 8

∫ 2x(x² + 1)³ dx dari 0 sampai 1
u = x² + 1,  du = 2x dx
x = 0 → u = 1;   x = 1 → u = 2
= ∫ u³ du dari 1 sampai 2 = [u⁴/4] = 16/4 − 1/4 = 3,75

Substitusi membalik aturan rantai. Bila integrannya berbentuk f(g(x)) · g′(x), misalkan u = g(x) sehingga du = g′(x) dx, dan integralnya menjadi ∫ f(u) du yang lebih sederhana. Pada integral tentu, batasnya ikut diubah: batas x dimasukkan ke u = g(x), sehingga hitungan dapat diselesaikan seluruhnya dalam u tanpa kembali ke x.

Konstanta C tidak perlu ditulis pada integral tentu, karena C yang sama muncul di F(b) dan F(a) lalu saling menghapus. Hasil integral eksponensial juga ditangani teorema ini: antiturunan eˣ adalah eˣ, sehingga integralnya dari 0 sampai ln a sama dengan a − 1.