Deret Taylor dan Maclaurin

Deret Taylor menulis fungsi sebagai polinom tak berhingga di sekitar titik a: f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x − a)ⁿ. Bila a = 0 namanya deret Maclaurin. Koefisien ke-n diambil dari turunan ke-n di titik itu, sehingga polinom Taylor derajat n, ditulis Pₙ, punya nilai dan n turunan pertama yang sama dengan f di x = a.

eˣ        = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …      untuk semua x   (semua turunan eˣ di 0 bernilai 1)
1/(1 − x) = 1 + x + x² + x³ + …              untuk |x| < 1   (deret geometrik)
ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …              untuk −1 < x ≤ 1

Polinom Taylor dipakai untuk menaksir nilai. P₃ untuk eˣ di x = 0,5 memberi 1 + 0,5 + 0,125 + 0,0208 = 1,6458, sedangkan e^0,5 = 1,6487, selisih sekitar 0,003. Makin dekat x ke a dan makin tinggi derajatnya, makin kecil galatnya; pustaka matematika di komputer memakai gagasan yang sama untuk menghitung eˣ dan ln x.

Tiap deret punya selang konvergensi, dan selang itu dicari dengan uji rasio dari pelajaran sebelumnya. Deret eˣ konvergen untuk semua x, tetapi deret 1/(1 − x) hanya untuk |x| < 1. Di x = 2 jumlah parsialnya 1, 3, 7, 15, … membesar tanpa batas, padahal 1/(1 − 2) = −1. Di luar selang itu polinom Taylor tidak menaksir apa pun.