Nilai rata-rata fungsi pada selang

Rata-rata n bilangan adalah jumlahnya dibagi n. Untuk fungsi kontinu yang nilainya berubah sepanjang selang, jumlah diganti integral dan banyaknya data diganti panjang selang: nilai rata-rata f pada [a, b] adalah (1/(b − a)) ∫ f(x) dx dari a ke b.

Tafsiran geometrisnya: nilai rata-rata adalah tinggi persegi panjang di atas [a, b] yang luasnya sama dengan luas di bawah kurva. Teorema nilai rata-rata untuk integral menjamin bahwa fungsi yang kontinu di [a, b] benar-benar mencapai nilai rata-ratanya di sedikitnya satu titik c di dalam selang, yaitu f(c) sama dengan nilai rata-ratanya.

suhu ruang server T(t) = 20 + 6t − t² (°C), t jam sejak pukul 08.00, selang [0, 6]
∫ (20 + 6t − t²) dt dari 0 sampai 6 = [20t + 3t² − t³/3] = 120 + 108 − 72 = 156
rata-rata fungsi = 156 / 6 = 26 °C
rata-rata dua ujung = (T(0) + T(6)) / 2 = (20 + 20) / 2 = 20 °C   ← bukan rata-rata fungsi

Pemakaiannya ada di mana pun besaran berubah terhadap waktu: suhu rata-rata sepanjang siang, konsentrasi rata-rata zat dalam darah, atau kecepatan rata-rata dari fungsi kecepatan. Untuk kecepatan v(t), integralnya adalah perpindahan, sehingga nilai rata-rata v sama dengan perpindahan dibagi lama waktu, cocok dengan definisi kecepatan rata-rata di Kalkulus Dasar.