Pengantar turunan parsial

Fungsi dua variabel f(x, y) memberi satu keluaran dari dua masukan, misalnya biaya produksi dari jam mesin dan jam kerja. Turunan parsial terhadap x, ditulis ∂f/∂x, adalah laju perubahan f ketika x berubah dan y ditahan tetap. Cara hitungnya: anggap y konstanta, lalu turunkan terhadap x dengan aturan satu variabel yang sudah dikenal. Turunan parsial terhadap y dihitung dengan cara yang sama, x yang ditahan.

f(x, y) = x²y + 3y² + 5x
∂f/∂x = 2xy + 5        (y konstanta, jadi 3y² ikut hilang)
∂f/∂y = x² + 6y        (x konstanta, jadi 5x ikut hilang)
di (2, 1):  ∂f/∂x = 9,   ∂f/∂y = 10

Tafsirannya sama dengan turunan biasa, hanya untuk satu arah. Bila keuntungan U(h, i) dalam juta rupiah bergantung pada harga jual h dan biaya iklan i, maka ∂U/∂i = 0,8 di satu titik berarti tambahan satu juta rupiah iklan menaikkan keuntungan sekitar 0,8 juta rupiah, dengan harga ditahan. Secara geometris, ∂f/∂x adalah kemiringan kurva irisan permukaan z = f(x, y) dengan bidang y = konstanta.

Turunan parsial kedua didapat dengan mengulang: ∂²f/∂x², ∂²f/∂y², dan turunan campuran. Untuk fungsi yang turunan keduanya kontinu, urutan turunan campuran tidak mengubah hasil (teorema Clairaut). Kelas ini berhenti di sini; gradien, bidang singgung, dan optimasi dua variabel adalah bahan kalkulus peubah banyak.