Integral parsial berulang dan cara tabel

Bila setelah satu kali parsial integral barunya masih berupa hasil kali polinom dan eksponen, parsial diulang. Tiap putaran menurunkan pangkat polinom satu tingkat, sehingga ∫ x² eˣ dx butuh dua putaran dan ∫ x³ eˣ dx butuh tiga.

∫ x² eˣ dx
putaran 1: u = x²,  dv = eˣ dx  →  x² eˣ − ∫ 2x eˣ dx
putaran 2: u = 2x,  dv = eˣ dx  →  ∫ 2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
hasil:     x² eˣ − (2x eˣ − 2eˣ) = eˣ(x² − 2x + 2) + C

Putaran-putaran itu dapat dirapikan dalam tabel dua kolom. Kolom kiri berisi turunan berturut-turut dari u (x², 2x, 2, 0), kolom kanan antiturunan berturut-turut dari dv (eˣ, eˣ, eˣ). Hasil kali silang tiap baris kiri dengan baris kanan berikutnya diberi tanda bergantian +, −, + sampai kolom kiri bernilai nol. Cara tabel bukan rumus baru, hanya pencatatan putaran yang sama.

Pada integral tentu, batas boleh dimasukkan setelah antiturunan lengkap ditemukan. Contoh: ∫ x² eˣ dx dari 0 sampai 1 sama dengan [eˣ(x² − 2x + 2)] dari 0 sampai 1, yaitu e · 1 − 1 · 2 = e − 2 ≈ 0,72. Pasangan polinom dengan logaritma bekerja sebaliknya: ln x dijadikan u dan polinom dijadikan dv, karena turunan ln x menghapus logaritmanya dan sekali putaran sudah cukup.