Volume benda putar: cakram dan cincin

Daerah di bawah y = f(x) pada [a, b] yang diputar mengelilingi sumbu x membentuk benda putar. Irisan tegak lurus sumbu setebal dx berbentuk cakram berjari-jari f(x), dengan volume π f(x)² dx. Menjumlahkan semua cakram memberi V = π ∫ f(x)² dx dari a ke b.

y = √x di [0, 4], diputar mengelilingi sumbu x
V = π ∫ (√x)² dx dari 0 sampai 4 = π ∫ x dx = π [x²/2] dari 0 sampai 4 = 8π ≈ 25,13

Bila daerah yang diputar dibatasi dua kurva, irisannya berlubang di tengah dan berbentuk cincin (washer). Jari-jari luar R(x) adalah jarak kurva terjauh ke sumbu putar, jari-jari dalam r(x) jarak kurva terdekat. Luas satu cincin π(R² − r²), sehingga V = π ∫ (R(x)² − r(x)²) dx dari a ke b. Bila r(x) = 0 di seluruh selang, rumus cincin kembali menjadi rumus cakram.

Banyak jawaban volume berbentuk kelipatan π, misalnya 8π. Latihan di pelajaran ini meminta angka k pada kπ, sehingga jawabannya tunggal dan tidak bergantung pada berapa angka π yang dipakai kalkulator. Satuan volume adalah satuan panjang pangkat tiga.