Integral parsial: membalik aturan hasil kali

Kalkulus Dasar menutup teknik integral dengan substitusi, yang membalik aturan rantai. Integral parsial membalik aturan hasil kali. Dari (uv)′ = u′v + uv′, kedua ruas diintegralkan lalu disusun ulang menjadi ∫ u dv = uv − ∫ v du. Rumus ini tidak langsung memberi jawaban; ia menukar satu integral dengan integral lain yang diharapkan lebih mudah.

∫ x eˣ dx
  u = x       dv = eˣ dx
  du = dx     v = eˣ
= x eˣ − ∫ eˣ dx = x eˣ − eˣ + C

periksa: turunan x eˣ − eˣ = eˣ + x eˣ − eˣ = x eˣ   cocok

Kuncinya memilih u: bagian yang menjadi lebih sederhana bila diturunkan, sementara dv harus bisa diintegralkan. Singkatan LIATE (logaritma, invers trigonometri, aljabar, trigonometri, eksponen) mengurutkan calon u; di kelas ini hanya logaritma, polinom, dan eksponen yang muncul. Pada ∫ x eˣ dx, u = x karena turunannya 1.

Integral ln x tampak tidak cocok karena hanya ada satu faktor. Ambil u = ln x dan dv = dx, sehingga du = (1/x) dx dan v = x. Hasilnya ∫ ln x dx = x ln x − ∫ x · (1/x) dx = x ln x − x + C. Untuk integral tentu, bagian uv dievaluasi di kedua batas: ∫ u dv dari a ke b sama dengan [uv] dari a ke b dikurangi ∫ v du dari a ke b.