Pecahan parsial untuk fungsi rasional

Fungsi rasional yang penyebutnya terfaktor menjadi faktor linear berbeda dapat ditulis sebagai jumlah pecahan sederhana. Tiap pecahan A/(x − r) punya antiturunan A ln|x − r|, sehingga integral fungsi rasional yang tampak rumit berubah menjadi beberapa logaritma.

(3x + 5) / ((x + 1)(x + 3)) = A/(x + 1) + B/(x + 3)
3x + 5 = A(x + 3) + B(x + 1)
x = −1:   2 = 2A    →  A = 1
x = −3:  −4 = −2B   →  B = 2
∫ (3x + 5)/((x + 1)(x + 3)) dx = ln|x + 1| + 2 ln|x + 3| + C

Cara mencari A dan B: kalikan kedua ruas dengan penyebut, lalu masukkan nilai x yang membuat salah satu faktor nol. Tiap konstanta keluar dalam satu baris. Cara lain, menyamakan koefisien x dan konstanta di kedua ruas, memberi sistem persamaan linear dengan hasil yang sama dan berguna untuk memeriksa.

Ada dua syarat sebelum memecah. Pertama, derajat pembilang harus lebih kecil dari derajat penyebut; bila tidak, bagi dulu pembilang dengan penyebut, dan hanya sisa pembagiannya yang dipecah. Kedua, penyebut harus terfaktor sepenuhnya, misalnya x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Faktor berulang seperti (x − 1)² dan faktor kuadrat yang tidak bisa difaktorkan memakai bentuk pecahan lain yang tidak dibahas di kelas ini.