Integral tak wajar

Integral tentu di Kalkulus Dasar memakai selang terbatas dan fungsi yang terbatas. Integral tak wajar melepas salah satu syarat itu: batasnya tak hingga, atau fungsinya menuju tak hingga di dalam selang. Keduanya didefinisikan sebagai limit integral biasa.

∫ f(x) dx dari a sampai ∞ = lim (b → ∞) ∫ f(x) dx dari a sampai b

∫ 1/x² dx dari 1 sampai ∞ = lim [−1/x] dari 1 sampai b = lim (1 − 1/b) = 1      konvergen
∫ 1/x dx dari 1 sampai ∞  = lim [ln x] dari 1 sampai b = lim ln b = ∞           divergen

Bila limitnya ada dan berhingga, integralnya konvergen; bila tidak, divergen. Dua contoh di atas memperlihatkan bahwa fungsi yang sama-sama menuju nol belum tentu memberi luas berhingga. Hasil umumnya: ∫ 1/xᵖ dx dari 1 sampai ∞ konvergen tepat bila p > 1, dan nilainya 1/(p − 1).

Jenis kedua muncul pada ∫ 1/√x dx dari 0 sampai 4: integrannya tak terbatas di x = 0. Batas bawah diganti a lalu a → 0⁺, sehingga hasilnya lim [2√x] dari a sampai 4 = 4 − 0 = 4. Integral eksponen menurun, ∫ e^(−kx) dx dari 0 sampai ∞ = 1/k untuk k > 0, muncul di peluang dan di model pembuangan obat. Pemeriksaan numerik bisa memakai scipy.integrate.quad, yang menerima batas tak hingga.