Materi
Persamaan diferensial menghubungkan fungsi yang dicari dengan turunannya. Bentuk dy/dx = g(x) · h(y) disebut terpisah, karena semua y dapat dipindah ke satu ruas dan semua x ke ruas lain: (1/h(y)) dy = g(x) dx. Kedua ruas lalu diintegralkan, dan satu konstanta C cukup untuk keduanya. Syarat awal seperti y(0) = 3 menentukan C.
dy/dx = x / y, y(0) = 3
y dy = x dx
y²/2 = x²/2 + C
y(0) = 3: 9/2 = 0 + C → C = 9/2
y² = x² + 9 → y = √(x² + 9) (akar positif karena y(0) = 3 > 0)Kasus terpenting adalah dy/dt = ky: laju perubahan sebanding dengan besarnya. Pemisahan memberi (1/y) dy = k dt, lalu ln|y| = kt + C, dan dengan y(0) = y₀ diperoleh y = y₀e^(kt). Untuk k > 0 ini pertumbuhan eksponensial, misalnya kultur bakteri; untuk k < 0 peluruhan, misalnya zat yang dibuang tubuh. Hukum pendinginan Newton dT/dt = −k(T − Tₛ) juga terpisah, dengan solusi T = Tₛ + (T₀ − Tₛ)e^(−kt), Tₛ suhu ruang.
Solusi selalu dapat diperiksa dengan memasukkannya kembali ke persamaan. Turunan y = 3e^(0,2t) adalah 0,6e^(0,2t) = 0,2y, cocok dengan dy/dt = 0,2y.
