Pertumbuhan logistik

Pertumbuhan eksponensial tidak bisa berlangsung selamanya, karena makanan, ruang, atau pasar terbatas. Model logistik menambahkan batas itu: dP/dt = rP(1 − P/K). Saat P kecil, faktor (1 − P/K) hampir 1 dan pertumbuhannya hampir eksponensial; saat P mendekati K, faktor itu mendekati nol dan pertumbuhannya melambat. K disebut daya dukung.

Persamaan ini terpisah, dan pemisahannya memakai pecahan parsial dari modul pertama: K/(P(K − P)) = 1/P + 1/(K − P). Setelah kedua ruas diintegralkan dan syarat awal P(0) = P₀ dimasukkan, solusinya berbentuk sebagai berikut.

P(t) = K / (1 + A e^(−rt)),   A = (K − P₀) / P₀

contoh: K = 10.000, P₀ = 1.000, r = 0,5 per tahun  →  A = 9
P(t) = 10.000 / (1 + 9e^(−0,5t))
P(0) = 10.000 / 10 = 1.000   cocok

Tiga sifat terbaca langsung dari rumus. Untuk t → ∞, e^(−rt) → 0 sehingga P → K. Laju dP/dt paling besar saat P = K/2, karena rP(1 − P/K) adalah fungsi kuadrat dalam P dengan puncak di tengah antara 0 dan K; nilai lajunya di situ rK/4, dan pada grafik titik itu adalah titik belok kurva S. Waktu mencapai K/2 adalah t = (ln A)/r. Bila P₀ > K, A negatif dan P turun menuju K dari atas.